LOS NUMEROS REALES TEMA 1

Números reales

Los números reales son sólo números como:

  

De hecho:

Casi todos los números que se te ocurran son números reales

Los números reales incluyen:

	los numeros enteros (Como 1,2,3,4,-1, etc.)
	los numeros racionales (como 3/4, -0.125, 0.333..., 1.1, etc.)
	los numeros irracionales  (como π, √3, etc.)

Los números reales pueden ser positivos, negativos o cero.

Entonces... ¿qué números NO son reales?

	√-1 (la raíz cuadrada de menos 1) no es un número real, es un número imaginario
	Infinito no es un número real
Y también hay otros números especiales que los matemáticos usan y que no son números reales

¿Por qué se llaman números "reales"?

Porque no son igmaginarios 

Números Reales

Los números que se utilizan en el álgebra son los números reales.

Hay un número real en cada punto de la recta numérica. Los números reales se dividen en números racionales, números irracionales y números enteros los cuales a su vez se dividen en números negativos, números positivos y cero (0) .Podemos verlo en esta tabla:

Un número real es racional si se puede representar como cociente a/b, donde a sea un entero y b sea un entero no igual a cero. Los números racionales pueden escribirse en forma decimal.

Existen dos maneras:

* decimales terminales

* decimales que se repiten infinitamente

Los números reales que no pueden ser expresados en la forma a/b, donde a y b son enteros se llaman números irracionales. Los números irracionales no tienen decimales terminales ni decimales que se repiten infinitamente.

Orden de Operaciones

Reglas Importantes para Resolver Operaciones Aritméticas:

1. Primero resolver todo lo que esté dentro de simbolos de agrupación.

2. Evaluar las expresiones exponenciales.

3. Hacer todas las multiplicaciones y divisiones en orden de izquierda a derecha.

4. Hacer todas las sumas y restas en orden de izquierda a derecha.

Ejemplo:

Propiedades de los Números Reales:

· Conmutativa de adición:

La conmutatividad implica que no importa el orden de operación, el resultado siempre es el mismo.

Por ejemplo:

4 + 2 = 2 + 4

· Conmutativa de multiplicación:

Por ejemplo:

4 . 2 = 2 . 4

· Asociativa de adición:

La asociatividad implica que no importa el orden en que se agrupe, el resultado es el mismo.

Por ejemplo:

(4 + 2) + 9 = 4 + (2 + 9)

· Asociativa de multiplicación:

Por ejemplo:

4 . (2 . 9) = (4 . 2) . 9

· Distributiva de multiplicación sobre adición:

Por ejemplo:

4 . (2 + 9) = 4 . 2 + 4 . 9

Reglas de los Signos:

1. En suma de números con signos iguales, se suman los números y el resultado lleva el mismo signo. Si los números tienen signos diferentes, se restan y el resultado lleva el signo del mayor.

Ejemplo:

5 + 8 = 13

5 + -8 = -3

2. En resta de signos iguales el resultado lleva el signo del mayor. Si se restan signos diferentes, se suman los números y el resultado lleva el signo del mayor.

Ejemplo:

5 - 8 = -3

5 - (-8) = 13

3. En multiplicación y división de números con signos iguales el resultado es positivo. Si los números son signos opuestos, el resultado es negativo.

Ejemplo:

5 x 8 = 40

5 x -8 = -40

Recta Numérica

Para construir una recta numérica, primero se escoge un punto en la recta que será un punto arbitrario al que le llamaremos cero (0). Este punto es llamado el origen de la recta numérica. El origen separa la recta en dos partes, el lado positivo y el lado negativo. A la derecha del origen está el lado positivo y el negativo está a la izquierda. En el lado derecho van números enteros positivos (en orden sucesivo) y en el lado izquierdo se escriben los números enteros negativos (en orden sucesivo), estos se marcan en unidades equidistantes.

Es importante recordar que para cualesquiera dos números reales diferentes a los que llamaremos a y b, siempre uno es mayor que el otro.

· Si a - b es positivo, entonces a > b.

· Si b - a es positivo, entonces a < b.

Valor Absoluto

La distancia de un número en la recta numérica desde cero (0) se llama valor absoluto. Se representa con elsímbolo |x|. El valor absoluto de un número se calcula de la siguiente manera:

· si el número es negativo, lo convertimos a positivo.· si el número es cero o positivo, se queda igual.

Ejemplos:

|7| = 7

|-7| = 7

Real no quiere decir que aparezcan en el mundo real

	No se llaman "reales" porque muestren valores de cosas
En matemáticas nos gusta que los números sean puros y exactos, si escribimos 0.5 queremos decir exactamente una mitad, pero en el mundo real una mitad puede no ser exacta (prueba a cortar una manzana exactamente por la mitad

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LOS NUMEROS REALES TEMA 2

Los números reales

INTRODUCCIÓN

Para reconocer a un número real, basta con saber que si un número tiene representación decimal, entonces es un número real.

Todo número racional tiene representación decimal.

Ejemplo:  3 / 4   =   0,75

 teorema Por lo tanto:  Q  es subconjunto de  R  Todo número real cuya representación decimal es finita o presenta un período, tiene representación fraccionaria. 
teorema: Todo número real cuya representación decimal no cumple con lo anterior, no es racional.

Ejemplo:  p   =   3,1415926535897932384626433832795 . . .

Por lo tanto:  Q  ≠   R .

NÚMEROS IRRACIONALES  ( I )

Un número es irracional si y sólo si es un número real no racional.

Ejemplo:  p   =   3,1415926535897932384626433832795 . . .

PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS REALES, CON LAS OPERACIONES SUMA Y MULTIPLICACIÓN

El conjunto de los números reales, con las operaciones suma y multiplicación, es un campo, es decir, si  a  ,  b  y  c son números reales, entonces se satisfacen las siguientes propiedades:

a + b ε R	Clausura	a b ε R
a + ( b + c )  =  ( a + b ) + c	Asociatividad	a ( b c )  =  ( a b ) c
a + 0  =  0 + a  =  a	Existencia del elemento neutro	a × 1  =  1 × a  =  a
a + ( – a )  =  – a + a = 0	Existencia del elemento inverso	a × a – 1  =  a – 1 × a  =  1 ( a  ≠  0 )
a + b  =  b + a	Conmutatividad	a b  =  b a
	Distributividad	a ( b + c )  =  a b + a c ( b + c ) a  =  b a + c a

POTENCIAS DE  10

    .
    .
    .

    10 ³   =   1.000

    10 ²   =   100

    10 ¹   =   10

    10 ⁰   =   1

    10 ^{– 1}   =   0,1

    10 ^{– 2}   =   0,01

    10 ^{– 3}   =   0,001

    .
    .
    .

Teorema:  Todo número real puede desarrollarse en potencias de 10.

Ejemplo:  484,75   =   4 × 10 ²  +  8 × 10 ¹  +  4 × 10 ⁰  +  7 × 10 ^{– 1}  +  5 × 10 ^{– 2}

Multiplicación por una potencia de 10

Para multiplicar un decimal por una potencia de 10 , se procede de la siguiente forma:

1 ) Si el exponente de la potencia de 10 es positivo, se “corre” la coma, hacia la “derecha” , el mismo número de espacios que indica ese exponente:

Ejemplo:  405,27 × 10 ⁵   =   40.527.000

2 ) Si el exponente de la potencia de 10 es negativo, se “corre” la coma, hacia la “izquierda” , el mismo número de espacios que indica ese exponente:

Ejemplo:  89,324 × 10 ^{– 4}   =   0,0089324

División por una potencia de 10

Para dividir un decimal por una potencia de 10 , hay que tener presente lo siguiente:

a ÷ 10 ⁿ   =   a × 10 ^{– n}

Ejemplos:  405,27 ÷ 10 ⁵   =   405,27 × 10 ^{– 5}   =   0,0040527

                    89,324 ÷ 10 ^{– 4}   =   89,324 × 10 ⁴   =   893.240

  video 

LOS NUMEROS REALES TEMA 3

 les presento unas imagenes posteada por mi y mi compañera 

Numeros Reales

Tipos de números reales Un número real puede ser un número racional o un número irracional. Los números racionales son aquellos que pueden expresarse como el cociente de dos números enteros, tal como 3/4, -21/3, 5, 0, 1/2, mientras que los irracionales son todos los demaś. Los números racionales también pueden describirse como aquellos cuya representación decimal es eventualmente periódica, mientras que los irracionales tienen una expansión decimal aperiódica: Ejemplos 1/4 = 0,250000... Es un número racional puesto que es periódico a partir del tercer número decimal. 5/7 = 0,7142857142857142857.... Es racional y tiene un período de longitud 6 (repite 714285). es irracional y su expansión decimal es aperiódica. Otra forma de clasificar los números reales es en algebraicos y trascendentes. Un número es algebraico si existe un polinomio que lo tiene por raíz y es trascendente en caso contrario. Obviamente, todos los números racionales son algebraicos: si es un número racional, con p entero y q natural, entonces es raíz del de la ecuación qx=p. Sin embargo, no todos los números algebraicos son racionales. Ejemplos El número es algebraico puesto que es la raíz del polinomio 8x3 − 12x2 + 6x − 8 Un ejemplo de número trascendente es Operaciones con números reales Con números reales pueden realizarse todo tipo de operaciones básicas con dos excepciones importantes: No existen raíces de orden par (cuadradas, cuartas, sextas, etc.) de números negativos en números reales, (aunque sí existen en el conjunto de los números complejos donde dichas operaciones sí están definidas). La división entre cero no está definida (pues cero no posee inverso multiplicativo, es decir, no existe número x tal que 0·x=1. Estas dos restricciones tienen repercusiones en otras áreas de las matemáticas como el cálculo: existen asíntotas verticales en los lugares donde el denominador de una función racional tiende a cero, es decir, en aquellos valores de la variable en los que se presentaría una división entre cero, o no existe gráfica real en aquellos valores de la variable en que resulten números negativos para raíces de orden par, por mencionar un ejemplo de construcción de gráficas en geometría analític Notación Los números reales se expresan con fracciones decimales que tienen una secuencia infinita de dígitos a la derecha de la coma decimal, como por ejemplo 324,8232. Frecuentemente también se subrepresentan con tres puntos consecutivos al final (324,823211247…), lo que significaría que aún faltan más dígitos decimales, pero que se consideran sin importancia. Las medidas en las ciencias físicas son siempre una aproximación a un número real. No sólo es más conciso escribirlos con forma de fracción decimal (es decir, números racionales que pueden ser escritos como proporciones, con un denominador exacto) sino que, en cualquier caso, cunde íntegramente el concepto y significado del número real. En el análisis matemático los números reales son objeto principal de estudio. Puede decirse que los números reales son la herramienta de trabajo de las matemáticas de la continuidad, como el cálculo y el análisis matemático, mientras que los números enteros lo son de las matemáticas discretas, en las que está ausente la continuidad. Se dice que un número real es recursivo si sus dígitos se pueden expresar por un algoritmo recursivo. Un número no-recursivo es aquél que es imposible de especificar explícitamente. Aun así, la escuela rusa de constructivismo supone que todos los números reales son recursivos. Los ordenadores sólo pueden aproximarse a los números reales por números racionales; de todas maneras, algunos programas de ordenador pueden tratar un número real de manera exacta usando su definición algebraica (por ejemplo, "") en vez de su respectiva aproximación decimal. Los matemáticos usan el símbolo (o, de otra forma, , la letra "R" en negrita) para representar el conjunto de todos los números reales. La notación matemática se refiere a un espacio de n dimensiones de los números reales; por ejemplo, un valor consiste de tres números reales y determina un lugar en un espacio de tres dimensiones. En matemática, la palabra "real" se usa como adjetivo, con el significado de que el campo subyacente es el campo de los números reales. Por ejemplo, matriz real, polinomio real, algebra

de Lie rea