LOS NUMEROS REALES TEMA 2

Los números reales

INTRODUCCIÓN

Para reconocer a un número real, basta con saber que si un número tiene representación decimal, entonces es un número real.

Todo número racional tiene representación decimal.

Ejemplo:  3 / 4   =   0,75

 teorema Por lo tanto:  Q  es subconjunto de  R  Todo número real cuya representación decimal es finita o presenta un período, tiene representación fraccionaria. 
teorema: Todo número real cuya representación decimal no cumple con lo anterior, no es racional.

Ejemplo:  p   =   3,1415926535897932384626433832795 . . .

Por lo tanto:  Q  ≠   R .

NÚMEROS IRRACIONALES  ( I )

Un número es irracional si y sólo si es un número real no racional.

Ejemplo:  p   =   3,1415926535897932384626433832795 . . .

PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS REALES, CON LAS OPERACIONES SUMA Y MULTIPLICACIÓN

El conjunto de los números reales, con las operaciones suma y multiplicación, es un campo, es decir, si  a  ,  b  y  c son números reales, entonces se satisfacen las siguientes propiedades:

a + b ε R	Clausura	a b ε R
a + ( b + c )  =  ( a + b ) + c	Asociatividad	a ( b c )  =  ( a b ) c
a + 0  =  0 + a  =  a	Existencia del elemento neutro	a × 1  =  1 × a  =  a
a + ( – a )  =  – a + a = 0	Existencia del elemento inverso	a × a – 1  =  a – 1 × a  =  1 ( a  ≠  0 )
a + b  =  b + a	Conmutatividad	a b  =  b a
	Distributividad	a ( b + c )  =  a b + a c ( b + c ) a  =  b a + c a

POTENCIAS DE  10

    .
    .
    .

    10 ³   =   1.000

    10 ²   =   100

    10 ¹   =   10

    10 ⁰   =   1

    10 ^{– 1}   =   0,1

    10 ^{– 2}   =   0,01

    10 ^{– 3}   =   0,001

    .
    .
    .

Teorema:  Todo número real puede desarrollarse en potencias de 10.

Ejemplo:  484,75   =   4 × 10 ²  +  8 × 10 ¹  +  4 × 10 ⁰  +  7 × 10 ^{– 1}  +  5 × 10 ^{– 2}

Multiplicación por una potencia de 10

Para multiplicar un decimal por una potencia de 10 , se procede de la siguiente forma:

1 ) Si el exponente de la potencia de 10 es positivo, se “corre” la coma, hacia la “derecha” , el mismo número de espacios que indica ese exponente:

Ejemplo:  405,27 × 10 ⁵   =   40.527.000

2 ) Si el exponente de la potencia de 10 es negativo, se “corre” la coma, hacia la “izquierda” , el mismo número de espacios que indica ese exponente:

Ejemplo:  89,324 × 10 ^{– 4}   =   0,0089324

División por una potencia de 10

Para dividir un decimal por una potencia de 10 , hay que tener presente lo siguiente:

a ÷ 10 ⁿ   =   a × 10 ^{– n}

Ejemplos:  405,27 ÷ 10 ⁵   =   405,27 × 10 ^{– 5}   =   0,0040527

                    89,324 ÷ 10 ^{– 4}   =   89,324 × 10 ⁴   =   893.240

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